.png)
गणित अध्यापनाचे हेतू स्पष्ट करा
गणित हा मानवाच्या आयुष्याचा अत्यावश्यक व अविभाज्य भाग आहे. गणिताचे ज्ञान केवळ शालेय शिक्षणापुरते मर्यादित नसून, ते रोजच्या व्यवहारात, व्यवसायात, संशोधनात, अभियांत्रिकी, तंत्रज्ञान, विज्ञान यामध्येही तितकेच महत्त्वाचे आहे. म्हणूनच शाळेतील गणित अध्यापनामध्ये काही निश्चित हेतू व उद्दिष्टे (Aims and Objectives) ठेवली जातात.
या हेतूंनी विद्यार्थ्यांच्या बौद्धिक, व्यावहारिक व सामाजिक विकासाला चालना मिळते.
गणित हा मानवाच्या आयुष्याचा अत्यावश्यक व अविभाज्य भाग आहे. गणिताचे ज्ञान केवळ शालेय शिक्षणापुरते मर्यादित नसून, ते रोजच्या व्यवहारात, व्यवसायात, संशोधनात, अभियांत्रिकी, तंत्रज्ञान, विज्ञान यामध्येही तितकेच महत्त्वाचे आहे. म्हणूनच शाळेतील गणित अध्यापनामध्ये काही निश्चित हेतू व उद्दिष्टे (Aims and Objectives) ठेवली जातात.
या हेतूंनी विद्यार्थ्यांच्या बौद्धिक, व्यावहारिक व सामाजिक विकासाला चालना मिळते.
१) बौद्धिक विकास साधणे
-
गणित शिकवल्यामुळे विद्यार्थ्यांचा विचारशक्तीचा विकास होतो.
-
तर्कशुद्ध विचार करणे, समस्या समजून घेणे व त्या सोडवण्यासाठी योग्य पद्धत निवडणे ही महत्त्वाची कौशल्ये निर्माण होतात.
-
गणितामुळे मनाचे तार्किक व विश्लेषणात्मक (analytical) विचार करण्याचे प्रशिक्षण होते.
उदा. एखादी समस्या सोडवताना विविध पर्यायांचा विचार करून योग्य मार्ग निवडणे.
-
गणित शिकवल्यामुळे विद्यार्थ्यांचा विचारशक्तीचा विकास होतो.
-
तर्कशुद्ध विचार करणे, समस्या समजून घेणे व त्या सोडवण्यासाठी योग्य पद्धत निवडणे ही महत्त्वाची कौशल्ये निर्माण होतात.
-
गणितामुळे मनाचे तार्किक व विश्लेषणात्मक (analytical) विचार करण्याचे प्रशिक्षण होते.
उदा. एखादी समस्या सोडवताना विविध पर्यायांचा विचार करून योग्य मार्ग निवडणे.
२) जीवनोपयोगी गणिती कौशल्यांचा विकास
-
गणित शिकवण्याचा प्रमुख हेतू म्हणजे जीवनातील दैनंदिन व्यवहारासाठी आवश्यक गणिती कौशल्ये विद्यार्थ्यांना आत्मसात करून देणे.
-
मोजमाप करणे, बजेट बनवणे, खरेदी-विक्री व्यवहार, वेळेचे नियोजन करणे इत्यादी व्यवहार गणिताशिवाय अशक्य आहेत.
उदा. बाजारात जाऊन वस्तूंची किंमत मोजताना बेरीज-वजाबाकीची गरज भासते.
-
गणित शिकवण्याचा प्रमुख हेतू म्हणजे जीवनातील दैनंदिन व्यवहारासाठी आवश्यक गणिती कौशल्ये विद्यार्थ्यांना आत्मसात करून देणे.
-
मोजमाप करणे, बजेट बनवणे, खरेदी-विक्री व्यवहार, वेळेचे नियोजन करणे इत्यादी व्यवहार गणिताशिवाय अशक्य आहेत.
उदा. बाजारात जाऊन वस्तूंची किंमत मोजताना बेरीज-वजाबाकीची गरज भासते.
३) समस्या सोडविण्याची क्षमता विकसित करणे
-
गणित शिकवताना विविध समस्या (problems) विद्यार्थ्यांना दिल्या जातात.
-
त्यातून ते स्वविचाराने, सुत्रबद्ध पद्धतीने आणि शिस्तबद्ध रितीने उपाय शोधायला शिकतात.
उदा. एखादे गणिती उदाहरण सोडवताना विविध पद्धती वापरून योग्य उत्तर मिळवणे.
-
गणित शिकवताना विविध समस्या (problems) विद्यार्थ्यांना दिल्या जातात.
-
त्यातून ते स्वविचाराने, सुत्रबद्ध पद्धतीने आणि शिस्तबद्ध रितीने उपाय शोधायला शिकतात.
उदा. एखादे गणिती उदाहरण सोडवताना विविध पद्धती वापरून योग्य उत्तर मिळवणे.
४) तर्कशुद्ध व विश्लेषणात्मक विचारशक्ती वाढवणे
-
गणिताचे अध्यापन हे विद्यार्थ्यांच्या तर्कशक्तीचा (logical reasoning) आणि विश्लेषणात्मक दृष्टिकोनाचा (analytical thinking) विकास करण्यासाठी अत्यावश्यक आहे.
-
तर्कशुद्ध विचार म्हणजे केवळ विश्वास न ठेवता पुराव्याच्या आधारावर निष्कर्ष काढणे.
उदा. जर "A > B" आणि "B > C" असे दिले असेल, तर "A > C" हे योग्य निष्कर्ष विद्यार्थी काढतात.
-
गणिताचे अध्यापन हे विद्यार्थ्यांच्या तर्कशक्तीचा (logical reasoning) आणि विश्लेषणात्मक दृष्टिकोनाचा (analytical thinking) विकास करण्यासाठी अत्यावश्यक आहे.
-
तर्कशुद्ध विचार म्हणजे केवळ विश्वास न ठेवता पुराव्याच्या आधारावर निष्कर्ष काढणे.
उदा. जर "A > B" आणि "B > C" असे दिले असेल, तर "A > C" हे योग्य निष्कर्ष विद्यार्थी काढतात.
५) अचूकता (Accuracy) व कार्यक्षमता (Efficiency) विकसित करणे
-
गणित शिकताना विद्यार्थ्यांना अचूकतेची सवय लागते.
-
चुकीचे गणिती उत्तर मंजूर नसते, त्यामुळे काम अचूक करणे व कमी वेळात जास्त प्रभावीपणे करणे शिकले जाते.
उदा. मोजमाप करताना अचूक युनिट्स वापरणे.
-
गणित शिकताना विद्यार्थ्यांना अचूकतेची सवय लागते.
-
चुकीचे गणिती उत्तर मंजूर नसते, त्यामुळे काम अचूक करणे व कमी वेळात जास्त प्रभावीपणे करणे शिकले जाते.
उदा. मोजमाप करताना अचूक युनिट्स वापरणे.
६) शिस्त व संयम निर्माण करणे
-
गणितामध्ये प्रत्येक पायरीचे महत्त्व असते. त्यामुळे विद्यार्थी प्रत्येक टप्प्यावर शिस्त पाळायला शिकतो.
-
चुका सुधारताना संयम व चिकाटीचा विकास होतो.
उदा. अवघड गणिती उदाहरण सोडवण्यासाठी सातत्याने प्रयत्न करणे.
-
गणितामध्ये प्रत्येक पायरीचे महत्त्व असते. त्यामुळे विद्यार्थी प्रत्येक टप्प्यावर शिस्त पाळायला शिकतो.
-
चुका सुधारताना संयम व चिकाटीचा विकास होतो.
उदा. अवघड गणिती उदाहरण सोडवण्यासाठी सातत्याने प्रयत्न करणे.
७) कल्पकता (Creativity) व नाविन्यता (Innovation) वाढवणे
-
गणित केवळ सूत्रे पाठ करणे नाही, तर ती नवीन पद्धतीने वापरणे, नवीन संकल्पना तयार करणे हेही शिकवते.
-
विद्यार्थ्यांना गणिती पद्धतीत नाविन्यपूर्ण कल्पना वापरता येतात.
उदा. वेगवेगळ्या पद्धतीने क्षेत्रफळ काढण्याचे तंत्र शोधणे.
-
गणित केवळ सूत्रे पाठ करणे नाही, तर ती नवीन पद्धतीने वापरणे, नवीन संकल्पना तयार करणे हेही शिकवते.
-
विद्यार्थ्यांना गणिती पद्धतीत नाविन्यपूर्ण कल्पना वापरता येतात.
उदा. वेगवेगळ्या पद्धतीने क्षेत्रफळ काढण्याचे तंत्र शोधणे.
८) वैज्ञानिक दृष्टिकोन विकसित करणे
-
गणिताच्या मदतीने विद्यार्थी घटनांकडे वैज्ञानिक दृष्टिकोनाने पाहायला शिकतात.
-
त्यांना कोणतीही गोष्ट शंका, कारण व परिणामाच्या आधारे समजून घेता येते.
उदा. एखादी गणिती संकल्पना खरी आहे का, हे प्रयोग करून तपासणे.
-
गणिताच्या मदतीने विद्यार्थी घटनांकडे वैज्ञानिक दृष्टिकोनाने पाहायला शिकतात.
-
त्यांना कोणतीही गोष्ट शंका, कारण व परिणामाच्या आधारे समजून घेता येते.
उदा. एखादी गणिती संकल्पना खरी आहे का, हे प्रयोग करून तपासणे.
९) स्वावलंबन आणि आत्मविश्वास वाढवणे
-
गणिती उदाहरण स्वतः सोडविल्यामुळे विद्यार्थी स्वावलंबी होतो.
-
गणित सोडवताना आलेल्या यशामुळे आत्मविश्वास वाढतो.
उदा. कठीण उदाहरण यशस्वीपणे सोडवल्यावर मिळणारी आत्मसंतुष्टी.
-
गणिती उदाहरण स्वतः सोडविल्यामुळे विद्यार्थी स्वावलंबी होतो.
-
गणित सोडवताना आलेल्या यशामुळे आत्मविश्वास वाढतो.
उदा. कठीण उदाहरण यशस्वीपणे सोडवल्यावर मिळणारी आत्मसंतुष्टी.
१०) व्यावसायिक व औद्योगिक गरजांची पूर्तता करणे
-
भविष्यात विविध व्यावसायिक व औद्योगिक क्षेत्रात गणिताचा उपयोग अनिवार्य आहे.
-
बँकिंग, विमा, अभियांत्रिकी, संगणक क्षेत्र, सांख्यिकी इत्यादी ठिकाणी गणिताचे मूलभूत ज्ञान लागते.
उदा. एखाद्या अभियंत्याला पुलाचे मापन करायला गणिताची गरज असते.
-
भविष्यात विविध व्यावसायिक व औद्योगिक क्षेत्रात गणिताचा उपयोग अनिवार्य आहे.
-
बँकिंग, विमा, अभियांत्रिकी, संगणक क्षेत्र, सांख्यिकी इत्यादी ठिकाणी गणिताचे मूलभूत ज्ञान लागते.
उदा. एखाद्या अभियंत्याला पुलाचे मापन करायला गणिताची गरज असते.
निष्कर्ष
गणिताचे अध्यापन केवळ अंकगणित शिकवणे नाही, तर विद्यार्थ्यांच्या सर्वांगीण बौद्धिक, व्यावहारिक व सामाजिक विकासासाठी अत्यंत महत्त्वाचे आहे.
गणितामुळे जीवन व्यवहार सुलभ होतो, विचारांची शुद्धता व कल्पकता वाढते, व विद्यार्थी समाजात सक्षम नागरिक म्हणून घडतो.
गणिताचे अध्यापन केवळ अंकगणित शिकवणे नाही, तर विद्यार्थ्यांच्या सर्वांगीण बौद्धिक, व्यावहारिक व सामाजिक विकासासाठी अत्यंत महत्त्वाचे आहे.
गणितामुळे जीवन व्यवहार सुलभ होतो, विचारांची शुद्धता व कल्पकता वाढते, व विद्यार्थी समाजात सक्षम नागरिक म्हणून घडतो.
म्हणूनच गणित अध्यापनाचे मुख्य हेतू आहेत:
-
बौद्धिक व तार्किक विकास
-
जीवनोपयोगी कौशल्यांचा विकास
-
अचूकता व कार्यक्षमतेचे संवर्धन
-
वैज्ञानिक दृष्टिकोन निर्माण करणे
-
स्वावलंबन व आत्मविश्वास वाढवणे
-
बौद्धिक व तार्किक विकास
-
जीवनोपयोगी कौशल्यांचा विकास
-
अचूकता व कार्यक्षमतेचे संवर्धन
-
वैज्ञानिक दृष्टिकोन निर्माण करणे
-
स्वावलंबन व आत्मविश्वास वाढवणे
रामानुजन यांचे गणितातील योगदान स्पष्ट करा
प्रस्तावना
गणिताचा इतिहास अनेक महान गणितज्ञांनी समृद्ध केला आहे, परंतु श्रीनिवास रामानुजन हे असे विलक्षण व्यक्तिमत्व होते, ज्यांनी केवळ स्वतःच्या नैसर्गिक बुद्धिमत्तेच्या जोरावर गणिताच्या क्षेत्रात अकल्पनीय कार्य केले.
त्यांचे कार्य इतके अद्वितीय होते की आजही जगभरातील गणितज्ञ त्यांच्या सिद्धांतांचा अभ्यास करतात व नवनवीन संशोधन करतात.
गणिताचा इतिहास अनेक महान गणितज्ञांनी समृद्ध केला आहे, परंतु श्रीनिवास रामानुजन हे असे विलक्षण व्यक्तिमत्व होते, ज्यांनी केवळ स्वतःच्या नैसर्गिक बुद्धिमत्तेच्या जोरावर गणिताच्या क्षेत्रात अकल्पनीय कार्य केले.
त्यांचे कार्य इतके अद्वितीय होते की आजही जगभरातील गणितज्ञ त्यांच्या सिद्धांतांचा अभ्यास करतात व नवनवीन संशोधन करतात.
श्रीनिवास रामानुजन यांचा थोडक्यात परिचय
-
पूर्ण नाव: श्रीनिवास अय्यंगार रामानुजन
-
जन्म: २२ डिसेंबर १८८७, इरोड, तामिळनाडू, भारत
-
मृत्यू: २६ एप्रिल १९२०, वयाच्या अवघ्या ३२व्या वर्षी
-
शिक्षण: औपचारिक शिक्षण अपूर्ण; मुख्यतः स्वअभ्यासाने गणिताचे ज्ञान प्राप्त केले.
रामानुजन यांना गणिताची अत्यंत लहान वयात आवड निर्माण झाली. त्यांनी कोणतीही औपचारिक गणिती पदवी घेतली नाही, तरीही त्यांच्या प्रतिभेमुळे ते जगभर प्रसिद्ध झाले.
-
पूर्ण नाव: श्रीनिवास अय्यंगार रामानुजन
-
जन्म: २२ डिसेंबर १८८७, इरोड, तामिळनाडू, भारत
-
मृत्यू: २६ एप्रिल १९२०, वयाच्या अवघ्या ३२व्या वर्षी
-
शिक्षण: औपचारिक शिक्षण अपूर्ण; मुख्यतः स्वअभ्यासाने गणिताचे ज्ञान प्राप्त केले.
रामानुजन यांना गणिताची अत्यंत लहान वयात आवड निर्माण झाली. त्यांनी कोणतीही औपचारिक गणिती पदवी घेतली नाही, तरीही त्यांच्या प्रतिभेमुळे ते जगभर प्रसिद्ध झाले.
रामानुजन यांचे गणितातील योगदान
१) अंकगणित (Number Theory)
-
अंकगणित हे रामानुजन यांचे अत्यंत प्रिय क्षेत्र होते.
-
त्यांनी संख्यांचे गुणधर्म, विभाज्यता, संख्याश्रृंखला (series), अभाज्य संख्यांचे स्वरूप यावर संशोधन केले.
-
विशेषतः "Partition Function" (भागाकार संख्या) यावर त्यांनी अद्भुत सूत्रे शोधली.
उदा. एखाद्या संख्येला किती प्रकारांनी बेरीज म्हणून मांडता येते हे Partition Function सांगते.
-
अंकगणित हे रामानुजन यांचे अत्यंत प्रिय क्षेत्र होते.
-
त्यांनी संख्यांचे गुणधर्म, विभाज्यता, संख्याश्रृंखला (series), अभाज्य संख्यांचे स्वरूप यावर संशोधन केले.
-
विशेषतः "Partition Function" (भागाकार संख्या) यावर त्यांनी अद्भुत सूत्रे शोधली.
उदा. एखाद्या संख्येला किती प्रकारांनी बेरीज म्हणून मांडता येते हे Partition Function सांगते.
२) अभाज्य संख्यांवर कार्य (Prime Numbers)
-
रामानुजन यांनी अभाज्य संख्यांबद्दल नवीन दृष्टिकोन दिला.
-
त्यांनी "Ramanujan Prime" आणि "Highly Composite Numbers" (अत्यधिक संमिश्र संख्या) यांचे अध्ययन केले.
-
"Ramanujan Prime" म्हणजे अशी संख्या जी विशिष्ट अटी पूर्ण करते आणि अभाज्य संख्यांचा संच तयार करते.
-
रामानुजन यांनी अभाज्य संख्यांबद्दल नवीन दृष्टिकोन दिला.
-
त्यांनी "Ramanujan Prime" आणि "Highly Composite Numbers" (अत्यधिक संमिश्र संख्या) यांचे अध्ययन केले.
-
"Ramanujan Prime" म्हणजे अशी संख्या जी विशिष्ट अटी पूर्ण करते आणि अभाज्य संख्यांचा संच तयार करते.
३) गणितीय श्रेणी व श्रेणीचे सूत्रे (Infinite Series)
-
रामानुजन यांनी अनेक अमर्याद श्रेणी (infinite series) तयार केल्या.
-
त्यांनी π (पाय) या संख्येच्या अचूक मूल्याचा अंदाज लावण्यासाठी विलक्षण जलद संकलन होणाऱ्या श्रेण्या तयार केल्या.
-
त्यांच्यामुळे आजही सुपर-कम्प्युटरमध्ये π ची लाखो कोटी अंकं शोधण्यात मदत होते.
उदा.
रामानुजन पद्धतीने π चे सूत्र:
-
रामानुजन यांनी अनेक अमर्याद श्रेणी (infinite series) तयार केल्या.
-
त्यांनी π (पाय) या संख्येच्या अचूक मूल्याचा अंदाज लावण्यासाठी विलक्षण जलद संकलन होणाऱ्या श्रेण्या तयार केल्या.
-
त्यांच्यामुळे आजही सुपर-कम्प्युटरमध्ये π ची लाखो कोटी अंकं शोधण्यात मदत होते.
उदा.
रामानुजन पद्धतीने π चे सूत्र:
४) विशेष फलन (Special Functions)
-
त्यांनी Gamma Function, Hypergeometric Series, Mock Theta Functions या क्षेत्रात महत्त्वाचे संशोधन केले.
-
"Mock Theta Functions" हे रामानुजन यांचे अत्यंत गूढ व प्रभावी योगदान आहे, जे त्यांच्या मृत्यूनंतरही अनेक दशकांनी समजले.
-
त्यांनी Gamma Function, Hypergeometric Series, Mock Theta Functions या क्षेत्रात महत्त्वाचे संशोधन केले.
-
"Mock Theta Functions" हे रामानुजन यांचे अत्यंत गूढ व प्रभावी योगदान आहे, जे त्यांच्या मृत्यूनंतरही अनेक दशकांनी समजले.
५) रमणीय सूत्रे व कोडे (Magical Formulas and Puzzles)
-
रामानुजन यांनी अनेक गमतीदार व अद्भुत गणिती सूत्रे तयार केली, जी अत्यंत सुंदर आणि आश्चर्यचकित करणारी आहेत.
-
ते संख्यांमध्ये दडलेल्या रहस्यांकडे वेगळ्या नजरेने पाहत.
प्रसिद्ध उदाहरण:
एकदा त्यांच्या मित्र हार्डी यांनी त्यांच्या भेटीला येताना सांगितले की ते "१७२९" नंबर असलेल्या टॅक्सीने आले होते, जे "फारच कंटाळवाणं" नंबर आहे.
त्यावर रामानुजन लगेच म्हणाले:
"नाही नाही! १७२९ ही तर अशी सर्वात लहान संख्या आहे जिला दोन वेगवेगळ्या मार्गांनी दोन घनसंख्यांचा बेरीज म्हणून लिहिता येते."
म्हणजे:
-
रामानुजन यांनी अनेक गमतीदार व अद्भुत गणिती सूत्रे तयार केली, जी अत्यंत सुंदर आणि आश्चर्यचकित करणारी आहेत.
-
ते संख्यांमध्ये दडलेल्या रहस्यांकडे वेगळ्या नजरेने पाहत.
प्रसिद्ध उदाहरण:
एकदा त्यांच्या मित्र हार्डी यांनी त्यांच्या भेटीला येताना सांगितले की ते "१७२९" नंबर असलेल्या टॅक्सीने आले होते, जे "फारच कंटाळवाणं" नंबर आहे.
त्यावर रामानुजन लगेच म्हणाले:
"नाही नाही! १७२९ ही तर अशी सर्वात लहान संख्या आहे जिला दोन वेगवेगळ्या मार्गांनी दोन घनसंख्यांचा बेरीज म्हणून लिहिता येते."
म्हणजे:
६) Modular Forms व Elliptic Functions वर कार्य
-
त्यांच्या कार्यामुळे आज "Modular Forms" आणि "Elliptic Functions" या शाखांचे आधुनिक गणितात फार मोठे योगदान झाले.
-
विशेषतः Ramanujan's Tau Function हे आधुनिक गणितात अत्यंत महत्त्वाचे समजले जाते.
-
त्यांच्या कार्यामुळे आज "Modular Forms" आणि "Elliptic Functions" या शाखांचे आधुनिक गणितात फार मोठे योगदान झाले.
-
विशेषतः Ramanujan's Tau Function हे आधुनिक गणितात अत्यंत महत्त्वाचे समजले जाते.
७) गुप्त सूत्रे व नोटबुक
-
रामानुजन यांचे तीन प्रसिद्ध नोटबुक आहेत, ज्यात त्यांनी आपली सूत्रे व सिद्धांत नमूद केले आहेत.
-
त्यांच्या मृत्यूनंतर १९७६ मध्ये एक "Lost Notebook" सापडले, ज्यामध्ये त्यांनी Mock Theta Functions संदर्भातील अद्वितीय संशोधन केले होते.
-
रामानुजन यांचे तीन प्रसिद्ध नोटबुक आहेत, ज्यात त्यांनी आपली सूत्रे व सिद्धांत नमूद केले आहेत.
-
त्यांच्या मृत्यूनंतर १९७६ मध्ये एक "Lost Notebook" सापडले, ज्यामध्ये त्यांनी Mock Theta Functions संदर्भातील अद्वितीय संशोधन केले होते.
रामानुजन यांचे वैशिष्ट्ये
-
कोणत्याही औपचारिक प्रशिक्षणाशिवाय केवळ आत्मज्ञानावर आधारित असलेले संशोधन.
-
गणिती समस्या सोडवताना अचूकता, कल्पकता व सौंदर्यपूर्ण दृष्टिकोन.
-
संख्यांच्या रहस्यांकडे तर्कशुद्ध व अध्यात्मिक दृष्टिकोनातून पाहणे.
-
कोणत्याही औपचारिक प्रशिक्षणाशिवाय केवळ आत्मज्ञानावर आधारित असलेले संशोधन.
-
गणिती समस्या सोडवताना अचूकता, कल्पकता व सौंदर्यपूर्ण दृष्टिकोन.
-
संख्यांच्या रहस्यांकडे तर्कशुद्ध व अध्यात्मिक दृष्टिकोनातून पाहणे.
निष्कर्ष
श्रीनिवास रामानुजन यांचे गणितातील योगदान केवळ भारतासाठीच नव्हे तर संपूर्ण जगासाठी एक अमूल्य ठेवा आहे.
त्यांनी गणिताला केवळ कोरडे शास्त्र न बनवता त्यात एक प्रकारचे जीवन व सृजनशीलता आणली.
त्यांच्या कार्यामुळे आजही गणित संशोधनातील नवनवीन दारे उघडली जात आहेत.
त्यामुळेच रामानुजन यांना "गणिताचा दिव्य पुरुष", "The Man Who Knew Infinity" असे आदराने संबोधले जाते.
"गणित अध्यापनाचे सूत्रे म्हणजे काय? पुनराकडून अवश्यकडे हे अध्यापन सूत्र योग्य उदाहरणासहित स्पष्ट करा."
गणित हा विषय केवळ आकड्यांचा खेळ नाही, तर तो विचारशक्ती, तर्कशक्ती आणि सर्जनशीलतेचा विकास करणारा शास्त्रशुद्ध अभ्यास आहे.
गणित शिकवताना शिक्षकाने अशा काही मार्गदर्शक तत्त्वांचा अवलंब करावा, ज्यामुळे विद्यार्थ्यांना संकल्पना सोप्या व प्रभावी पद्धतीने समजतील.
या मार्गदर्शक तत्त्वांना "गणित अध्यापनाची सूत्रे" असे म्हणतात.
श्रीनिवास रामानुजन यांचे गणितातील योगदान केवळ भारतासाठीच नव्हे तर संपूर्ण जगासाठी एक अमूल्य ठेवा आहे.
त्यांनी गणिताला केवळ कोरडे शास्त्र न बनवता त्यात एक प्रकारचे जीवन व सृजनशीलता आणली.
त्यांच्या कार्यामुळे आजही गणित संशोधनातील नवनवीन दारे उघडली जात आहेत.
त्यामुळेच रामानुजन यांना "गणिताचा दिव्य पुरुष", "The Man Who Knew Infinity" असे आदराने संबोधले जाते.
"गणित अध्यापनाचे सूत्रे म्हणजे काय? पुनराकडून अवश्यकडे हे अध्यापन सूत्र योग्य उदाहरणासहित स्पष्ट करा."
गणित हा विषय केवळ आकड्यांचा खेळ नाही, तर तो विचारशक्ती, तर्कशक्ती आणि सर्जनशीलतेचा विकास करणारा शास्त्रशुद्ध अभ्यास आहे.
गणित शिकवताना शिक्षकाने अशा काही मार्गदर्शक तत्त्वांचा अवलंब करावा, ज्यामुळे विद्यार्थ्यांना संकल्पना सोप्या व प्रभावी पद्धतीने समजतील.
या मार्गदर्शक तत्त्वांना "गणित अध्यापनाची सूत्रे" असे म्हणतात.
गणित अध्यापनाची सूत्रे म्हणजे काय?
-
गणित अध्यापनाची सूत्रे म्हणजे अशा तत्त्वांचा व पद्धतींचा समूह आहे, ज्यांच्या सहाय्याने गणित विषय सोप्या व शिस्तबद्ध रीतीने विद्यार्थ्यांपर्यंत पोहोचवता येतो.
-
ही सूत्रे अध्यापनाच्या प्रक्रियेत शिक्षकाला दिशा व गती देतात.
-
योग्य सूत्रांचा वापर केल्यास विद्यार्थी आत्मविश्वासाने व आनंदाने गणिताचे अध्ययन करतात.
थोडक्यात, गणित शिकवताना वापरण्यात येणाऱ्या मूलभूत नियमांना, मार्गदर्शक तत्त्वांना किंवा अध्यापन पद्धतींना गणित अध्यापनाची सूत्रे म्हणतात.
-
गणित अध्यापनाची सूत्रे म्हणजे अशा तत्त्वांचा व पद्धतींचा समूह आहे, ज्यांच्या सहाय्याने गणित विषय सोप्या व शिस्तबद्ध रीतीने विद्यार्थ्यांपर्यंत पोहोचवता येतो.
-
ही सूत्रे अध्यापनाच्या प्रक्रियेत शिक्षकाला दिशा व गती देतात.
-
योग्य सूत्रांचा वापर केल्यास विद्यार्थी आत्मविश्वासाने व आनंदाने गणिताचे अध्ययन करतात.
थोडक्यात, गणित शिकवताना वापरण्यात येणाऱ्या मूलभूत नियमांना, मार्गदर्शक तत्त्वांना किंवा अध्यापन पद्धतींना गणित अध्यापनाची सूत्रे म्हणतात.
गणित अध्यापनाची काही महत्त्वाची सूत्रे
-
सुलभतेपासून जटिलतेकडे जा (Simple to Complex)
-
ज्ञातापासून अज्ञाताकडे जा (Known to Unknown)
-
मूर्तापासून अमूर्ताकडे जा (Concrete to Abstract)
-
पुनराकडून अवश्यकडे जा (From Redundancy to Necessity)
-
विशिष्टापासून सामान्याकडे जा (Particular to General)
-
सजीव व अनुभवाधारित शिक्षण द्या (Activity and Experience Based Teaching)
-
सुलभतेपासून जटिलतेकडे जा (Simple to Complex)
-
ज्ञातापासून अज्ञाताकडे जा (Known to Unknown)
-
मूर्तापासून अमूर्ताकडे जा (Concrete to Abstract)
-
पुनराकडून अवश्यकडे जा (From Redundancy to Necessity)
-
विशिष्टापासून सामान्याकडे जा (Particular to General)
-
सजीव व अनुभवाधारित शिक्षण द्या (Activity and Experience Based Teaching)
"पुनराकडून अवश्यकडे" हे सूत्र काय सांगते?
अर्थ:
-
या सूत्रानुसार शिक्षकाने अशा रीतीने शिक्षण द्यावे की विद्यार्थ्यांना जेथे जास्त माहितीची पुनरावृत्ती किंवा सराव करावा लागतो, तिथून ते हळूहळू केवळ आवश्यक तेवढ्या माहितीवर आधारित स्वतंत्र विचार व उत्तर शोधण्याच्या स्थितीकडे पोचावेत.
-
सुरुवातीला अधिक उदाहरणे, सराव, मार्गदर्शन आवश्यक असते, पण जसजसा आत्मविश्वास वाढतो, तसतसे शिक्षकाने मदत कमी करावी आणि विद्यार्थ्यांना स्वयंपूर्ण करावे.
थोडक्यात, सुरुवातीला अधिक मदत व माहिती पुरवून, हळूहळू ती कमी करत विद्यार्थ्यांना स्वावलंबी बनवणे हेच "पुनराकडून अवश्यकडे" या सूत्राचे मुख्य तत्त्व आहे.
-
या सूत्रानुसार शिक्षकाने अशा रीतीने शिक्षण द्यावे की विद्यार्थ्यांना जेथे जास्त माहितीची पुनरावृत्ती किंवा सराव करावा लागतो, तिथून ते हळूहळू केवळ आवश्यक तेवढ्या माहितीवर आधारित स्वतंत्र विचार व उत्तर शोधण्याच्या स्थितीकडे पोचावेत.
-
सुरुवातीला अधिक उदाहरणे, सराव, मार्गदर्शन आवश्यक असते, पण जसजसा आत्मविश्वास वाढतो, तसतसे शिक्षकाने मदत कमी करावी आणि विद्यार्थ्यांना स्वयंपूर्ण करावे.
थोडक्यात, सुरुवातीला अधिक मदत व माहिती पुरवून, हळूहळू ती कमी करत विद्यार्थ्यांना स्वावलंबी बनवणे हेच "पुनराकडून अवश्यकडे" या सूत्राचे मुख्य तत्त्व आहे.
उदाहरणासहित स्पष्टीकरण
उदाहरण १: वर्गमुळे वर्गफळ शिकवताना
-
पुनरावृत्ती टप्पा (Redundancy Phase):
शिक्षक विद्यार्थ्यांना विविध प्रकारची चौरस व आयताकृती आकृत्यांचे मापन कसे करायचे हे अनेक उदाहरणांसह शिकवतो.
उदाहरणार्थ: ४ सेमी x ५ सेमी चा आयत असो, ६ सेमी चा चौरस असो — अनेक उदाहरणे सोडवून दाखवतो.
-
आवश्यकता टप्पा (Necessity Phase):
आता शिक्षक केवळ सूत्र (लांबी × रुंदी = क्षेत्रफळ) सांगतो आणि नवीन आकृती विद्यार्थ्यांनी स्वतः सोडवायला सांगतो.
शिक्षक फक्त निरीक्षण करतो आणि गरज पडल्यासच मदत करतो.
-
पुनरावृत्ती टप्पा (Redundancy Phase):
शिक्षक विद्यार्थ्यांना विविध प्रकारची चौरस व आयताकृती आकृत्यांचे मापन कसे करायचे हे अनेक उदाहरणांसह शिकवतो.
उदाहरणार्थ: ४ सेमी x ५ सेमी चा आयत असो, ६ सेमी चा चौरस असो — अनेक उदाहरणे सोडवून दाखवतो. -
आवश्यकता टप्पा (Necessity Phase):
आता शिक्षक केवळ सूत्र (लांबी × रुंदी = क्षेत्रफळ) सांगतो आणि नवीन आकृती विद्यार्थ्यांनी स्वतः सोडवायला सांगतो.
शिक्षक फक्त निरीक्षण करतो आणि गरज पडल्यासच मदत करतो.
उदाहरण २: सरळरेषा समीकरण शिकवताना
-
सुरुवातीला शिक्षक अनेक उदाहरणे देतो जसे की y = 2x + 3 वर आधारित सारणी तयार करणे, बिंदू काढणे, ग्राफ तयार करणे.
-
हळूहळू शिक्षक फक्त समीकरण देतो आणि विद्यार्थी स्वतःहून ग्राफ तयार करतात.
-
सुरुवातीला शिक्षक अनेक उदाहरणे देतो जसे की
y = 2x + 3वर आधारित सारणी तयार करणे, बिंदू काढणे, ग्राफ तयार करणे. -
हळूहळू शिक्षक फक्त समीकरण देतो आणि विद्यार्थी स्वतःहून ग्राफ तयार करतात.
"पुनराकडून अवश्यकडे" या सूत्राचा शैक्षणिक उपयोग
-
विद्यार्थ्यांचा आत्मविश्वास वाढतो.
-
स्वतःहून विचार करण्याची सवय लागते.
-
मूलभूत संकल्पना दृढ होतात.
-
अवधान व तर्कशक्ती विकसित होते.
-
स्वावलंबन व सर्जनशीलता निर्माण होते.
-
विद्यार्थ्यांचा आत्मविश्वास वाढतो.
-
स्वतःहून विचार करण्याची सवय लागते.
-
मूलभूत संकल्पना दृढ होतात.
-
अवधान व तर्कशक्ती विकसित होते.
-
स्वावलंबन व सर्जनशीलता निर्माण होते.
निष्कर्ष
"पुनराकडून अवश्यकडे" हे गणित अध्यापनाचे एक महत्त्वाचे सूत्र आहे.
सुरुवातीला जास्त मदतीसह सोप्या पद्धतीने शिकवून, हळूहळू विद्यार्थ्यांना कमी मदतीने अधिक विचार करायला प्रवृत्त करणे हा या सूत्राचा मुख्य हेतू आहे.
यामुळे विद्यार्थी केवळ उत्तरं पाठ करीत नाहीत, तर स्वतःहून विचार करून समस्यांचे निराकरण करतात आणि गणिताची खरी गोडी लागते.
प्रश्न "समवाय म्हणजे काय? तुम्ही गणिताचा इतर शालेय विषयांशी समवायकसा साधाल?
"पुनराकडून अवश्यकडे" हे गणित अध्यापनाचे एक महत्त्वाचे सूत्र आहे.
सुरुवातीला जास्त मदतीसह सोप्या पद्धतीने शिकवून, हळूहळू विद्यार्थ्यांना कमी मदतीने अधिक विचार करायला प्रवृत्त करणे हा या सूत्राचा मुख्य हेतू आहे.
यामुळे विद्यार्थी केवळ उत्तरं पाठ करीत नाहीत, तर स्वतःहून विचार करून समस्यांचे निराकरण करतात आणि गणिताची खरी गोडी लागते.
प्रश्न "समवाय म्हणजे काय? तुम्ही गणिताचा इतर शालेय विषयांशी समवायकसा साधाल?
समवायाची व्याख्या:
गणितातील समवाय म्हणजे दोन किंवा अधिक संख्यांमधील सर्वात लहान समान गुणक (LCM – Least Common Multiple) शोधण्याची प्रक्रिया.
समवाय शोधताना, आपण त्या संख्यांचे सर्व गुणक (multiples) पाहतो आणि त्यांमधून सर्वात लहान गुणक निवडतो जो सर्व संख्यांसाठी सामान्य असतो.
सोप्या भाषेत:
जेव्हा दोन किंवा जास्त संख्यांची समान गतीने वाढ होईल असा सर्वात लहान गुणक मिळवला जातो, तेव्हा त्याला समवाय म्हणतात.
गणितातील समवाय म्हणजे दोन किंवा अधिक संख्यांमधील सर्वात लहान समान गुणक (LCM – Least Common Multiple) शोधण्याची प्रक्रिया.
समवाय शोधताना, आपण त्या संख्यांचे सर्व गुणक (multiples) पाहतो आणि त्यांमधून सर्वात लहान गुणक निवडतो जो सर्व संख्यांसाठी सामान्य असतो.
सोप्या भाषेत: जेव्हा दोन किंवा जास्त संख्यांची समान गतीने वाढ होईल असा सर्वात लहान गुणक मिळवला जातो, तेव्हा त्याला समवाय म्हणतात.
समवायाचा महत्त्व:
समवायाचा उपयोग विशेषतः वेगवेगळ्या संख्यांमध्ये समान काळाच्या अंतरावर क्रिया करणारे साधन (जसे की गाडीचा वेग, वेगवेगळ्या गाड्यांमध्ये गती साधणे, तारखेचे प्रमाण, इत्यादी) शोधताना होतो.
अशा प्रकारे समवायाच्या माध्यमातून आपण समस्यांचे सुटकेचे मार्ग काढू शकतो.
समवायाचा उपयोग विशेषतः वेगवेगळ्या संख्यांमध्ये समान काळाच्या अंतरावर क्रिया करणारे साधन (जसे की गाडीचा वेग, वेगवेगळ्या गाड्यांमध्ये गती साधणे, तारखेचे प्रमाण, इत्यादी) शोधताना होतो.
अशा प्रकारे समवायाच्या माध्यमातून आपण समस्यांचे सुटकेचे मार्ग काढू शकतो.
समवाय शोधण्याची पद्धत:
समवाय शोधण्याची साधारण पद्धत:
-
गुणांक पद्धत (Multiples Method):
-
दिलेल्या संख्यांच्या सर्व गुणकांची यादी करा.
-
त्या यादीतून समान गुणकांचा शोध घ्या.
-
त्यामधून सर्वात लहान गुणक म्हणजेच समवाय.
-
प्राथमिक गुणांक पद्धत (Prime Factorization Method):
-
दिलेल्या संख्यांचा प्राथमिक गुणांक करा.
-
सर्व गुणांक घ्या आणि त्यांना एकत्र करा.
-
प्रत्येक गुणकाचा उच्चतम घातांक घेऊन गुणाकार करा. यामुळे आपल्याला समवाय मिळेल.
उदाहरण:
सापेक्ष संख्या ४ आणि ६ चा समवाय शोधूया.
-
४ च्या गुणांकांची यादी: ४, ८, १२, १६, २०, २४...
-
६ च्या गुणांकांची यादी: ६, १२, १८, २४, ३०...
-
समान गुणक: १२, २४, ३६...
-
सर्वात लहान समान गुणक म्हणजे समवाय: १२
समवाय शोधण्याची साधारण पद्धत:
-
गुणांक पद्धत (Multiples Method):
-
दिलेल्या संख्यांच्या सर्व गुणकांची यादी करा.
-
त्या यादीतून समान गुणकांचा शोध घ्या.
-
त्यामधून सर्वात लहान गुणक म्हणजेच समवाय.
-
-
प्राथमिक गुणांक पद्धत (Prime Factorization Method):
-
दिलेल्या संख्यांचा प्राथमिक गुणांक करा.
-
सर्व गुणांक घ्या आणि त्यांना एकत्र करा.
-
प्रत्येक गुणकाचा उच्चतम घातांक घेऊन गुणाकार करा. यामुळे आपल्याला समवाय मिळेल.
-
उदाहरण: सापेक्ष संख्या ४ आणि ६ चा समवाय शोधूया.
-
४ च्या गुणांकांची यादी: ४, ८, १२, १६, २०, २४...
-
६ च्या गुणांकांची यादी: ६, १२, १८, २४, ३०...
-
समान गुणक: १२, २४, ३६...
-
सर्वात लहान समान गुणक म्हणजे समवाय: १२
समवायाची उदाहरणे:
उदाहरण १:
गणितीय समीकरणात समवायाचा उपयोग:
चला ४ आणि ५ यांचा समवाय शोधूया.
-
४ च्या गुणांकांची यादी: ४, ८, १२, १६, २०, २४...
-
५ च्या गुणांकांची यादी: ५, १०, १५, २०, २५, ३०...
-
समान गुणक: २०
त्यामुळे ४ आणि ५ यांचा समवाय २० आहे.
गणितीय समीकरणात समवायाचा उपयोग:
चला ४ आणि ५ यांचा समवाय शोधूया.
-
४ च्या गुणांकांची यादी: ४, ८, १२, १६, २०, २४...
-
५ च्या गुणांकांची यादी: ५, १०, १५, २०, २५, ३०...
-
समान गुणक: २०
त्यामुळे ४ आणि ५ यांचा समवाय २० आहे.
गणिताचा इतर शालेय विषयांशी समवायाचा संबंध:
समवायाचा उपयोग विविध शालेय विषयांमध्ये केला जातो. हे विषय समवायाच्या तत्वावर आधारित अनेक समस्या सोडवतात. त्यापैकी काही प्रमुख विषय खाली दिले आहेत:
समवायाचा उपयोग विविध शालेय विषयांमध्ये केला जातो. हे विषय समवायाच्या तत्वावर आधारित अनेक समस्या सोडवतात. त्यापैकी काही प्रमुख विषय खाली दिले आहेत:
१. गणित आणि विज्ञान (Science)
गणिताचा विज्ञानाशी संबंध:
गणिताच्या समवायाचा उपयोग मुख्यतः विज्ञानाच्या विविध शाखांमध्ये, विशेषतः भौतिकशास्त्र (Physics) आणि रसायनशास्त्र (Chemistry) मध्ये होतो.
उदाहरणार्थ:
-
विज्ञान प्रयोगांमध्ये:
जर आपल्याला दोन रासायनिक पदार्थांचे प्रमाण समान अंतरावर मिसळायचे असतील, तर समवायाचा उपयोग करून योग्य प्रमाण शोधू शकतो.
-
गती व वेळ (Speed and Time):
दोन वस्तूंच्या गतीचा समवाय शोधून त्यांची वेळ समान केली जाऊ शकते, म्हणजेच त्यांना एकसारखा गती देण्यासाठी समवायाचा उपयोग होतो.
गणिताचा विज्ञानाशी संबंध:
गणिताच्या समवायाचा उपयोग मुख्यतः विज्ञानाच्या विविध शाखांमध्ये, विशेषतः भौतिकशास्त्र (Physics) आणि रसायनशास्त्र (Chemistry) मध्ये होतो.
उदाहरणार्थ:
-
विज्ञान प्रयोगांमध्ये:
जर आपल्याला दोन रासायनिक पदार्थांचे प्रमाण समान अंतरावर मिसळायचे असतील, तर समवायाचा उपयोग करून योग्य प्रमाण शोधू शकतो. -
गती व वेळ (Speed and Time):
दोन वस्तूंच्या गतीचा समवाय शोधून त्यांची वेळ समान केली जाऊ शकते, म्हणजेच त्यांना एकसारखा गती देण्यासाठी समवायाचा उपयोग होतो.
२. भौतिकशास्त्र (Physics)
भौतिकशास्त्रातील उपयोग:
भौतिकशास्त्रातील अनेक समस्यांमध्ये समवायाचे महत्त्व आहे. उदाहरणार्थ:
-
स्पीड व डिस्टन्स:
दोन वाहनं ज्या वेगाने जातात, त्यांच्या वेळेची तुलना केली जात असेल, तेव्हा समवायाचा वापर करून त्या वाहनांच्या वेळांचे समान पद्धतीने तुलनात्मक विश्लेषण केले जाऊ शकते.
-
प्रकाशाची गती (Speed of Light):
प्रकाशाची गती समान करण्यासाठी गणिताच्या समवायाचा उपयोग केला जातो.
भौतिकशास्त्रातील उपयोग:
भौतिकशास्त्रातील अनेक समस्यांमध्ये समवायाचे महत्त्व आहे. उदाहरणार्थ:
-
स्पीड व डिस्टन्स:
दोन वाहनं ज्या वेगाने जातात, त्यांच्या वेळेची तुलना केली जात असेल, तेव्हा समवायाचा वापर करून त्या वाहनांच्या वेळांचे समान पद्धतीने तुलनात्मक विश्लेषण केले जाऊ शकते. -
प्रकाशाची गती (Speed of Light):
प्रकाशाची गती समान करण्यासाठी गणिताच्या समवायाचा उपयोग केला जातो.
३. गणित आणि समाजशास्त्र (Mathematics and Social Studies)
समाजशास्त्र किंवा आर्थिक गणित मध्ये समवायाचा उपयोग विविध पद्धतीने केला जातो:
-
समय आणि भांडवल:
जर दोन व्यापारिक प्रक्रियांचा वेळ किंवा भांडवल समान करणे असेल, तर त्यासाठी समवाय वापरला जातो.
-
व्याज गणना:
जर दोन भांडवलांच्या व्याजाची तुलना करणे असेल, तर समवायाचा उपयोग करून योग्य व्याज दर साधला जातो.
समाजशास्त्र किंवा आर्थिक गणित मध्ये समवायाचा उपयोग विविध पद्धतीने केला जातो:
-
समय आणि भांडवल:
जर दोन व्यापारिक प्रक्रियांचा वेळ किंवा भांडवल समान करणे असेल, तर त्यासाठी समवाय वापरला जातो. -
व्याज गणना:
जर दोन भांडवलांच्या व्याजाची तुलना करणे असेल, तर समवायाचा उपयोग करून योग्य व्याज दर साधला जातो.
४. संगीत (Music)
संगीताच्या ताल व सुरांमध्ये समवायाचा उपयोग:
संगीतातील ताल (Rhythm) आणि सुरांमध्ये एकसारख्या अंतराने सूर व तालाचा एकसाथ वाजविण्यासाठी गणिताच्या समवायाचा उपयोग केला जातो.
सुर आणि तालांच्या वेगवेगळ्या गुणांकांचे समवाय शोधून त्यांना एकसारखा बनवता येतो.
संगीताच्या ताल व सुरांमध्ये समवायाचा उपयोग:
संगीतातील ताल (Rhythm) आणि सुरांमध्ये एकसारख्या अंतराने सूर व तालाचा एकसाथ वाजविण्यासाठी गणिताच्या समवायाचा उपयोग केला जातो.
सुर आणि तालांच्या वेगवेगळ्या गुणांकांचे समवाय शोधून त्यांना एकसारखा बनवता येतो.
निष्कर्ष
गणितातील समवाय म्हणजे दोन किंवा जास्त संख्यांचा सर्वात लहान समान गुणक शोधण्याची प्रक्रिया.
या समवायाचा उपयोग गणिताच्या विविध शाखांमध्ये तसेच इतर शालेय विषयांमध्ये केला जातो.
समवायाच्या सहाय्याने, आपण विविध गणिती आणि शालेय समस्यांचे सोडवणारे उपाय शोधू शकतो आणि अधिक चांगले परिणाम मिळवू शकतो.
गणिताच्या अध्यापनासाठी प्रायोगिक पद्धतीचा वापर
गणितातील समवाय म्हणजे दोन किंवा जास्त संख्यांचा सर्वात लहान समान गुणक शोधण्याची प्रक्रिया.
या समवायाचा उपयोग गणिताच्या विविध शाखांमध्ये तसेच इतर शालेय विषयांमध्ये केला जातो.
समवायाच्या सहाय्याने, आपण विविध गणिती आणि शालेय समस्यांचे सोडवणारे उपाय शोधू शकतो आणि अधिक चांगले परिणाम मिळवू शकतो.
गणिताच्या अध्यापनासाठी प्रायोगिक पद्धतीचा वापर
१. दृश्यात्मक साधने वापरणे (Using Visual Tools)
उदाहरण:
-
जेवलेले कॅल्क्युलेटर किंवा शिट्स (Interactive Boards and Graphs)
विद्यार्थ्यांना विविध आकृत्या, गणिती वर्तुळं आणि गती दाखवणारे ग्राफ्स दाखवून त्यांना समजावून सांगता येईल.
उदाहरणार्थ, समांतर रेषा, त्रिकोण, वर्तुळ इत्यादींबद्दल अभ्यास करतांना वास्तविक वस्तूंचा उपयोग करणे.
-
शैक्षणिक मॉडेल्स (Mathematical Models)
शाळेत गणिताच्या मुलभूत संकल्पनांचा समजवण्यासाठी विद्यार्थ्यांना विविध शैक्षणिक मॉडेल्स वापरता येतील. उदाहरणार्थ, त्रिकोणात्मक प्रमाणे कागदी त्रिकोण तयार करणे आणि त्याच्यावर वर्तुळ काढून "कक्षीय गोल" सांगणे.
-
जेवलेले कॅल्क्युलेटर किंवा शिट्स (Interactive Boards and Graphs)
विद्यार्थ्यांना विविध आकृत्या, गणिती वर्तुळं आणि गती दाखवणारे ग्राफ्स दाखवून त्यांना समजावून सांगता येईल.
उदाहरणार्थ, समांतर रेषा, त्रिकोण, वर्तुळ इत्यादींबद्दल अभ्यास करतांना वास्तविक वस्तूंचा उपयोग करणे. -
शैक्षणिक मॉडेल्स (Mathematical Models)
शाळेत गणिताच्या मुलभूत संकल्पनांचा समजवण्यासाठी विद्यार्थ्यांना विविध शैक्षणिक मॉडेल्स वापरता येतील. उदाहरणार्थ, त्रिकोणात्मक प्रमाणे कागदी त्रिकोण तयार करणे आणि त्याच्यावर वर्तुळ काढून "कक्षीय गोल" सांगणे.
२. प्रायोगिक उपक्रम वापरणे (Using Practical Activities)
उदाहरण:
-
गणित प्रयोग:
विद्यार्थ्यांना गणिताचे अनुभव घेण्यासाठी विविध प्रयोग तयार करून द्या.
उदाहरणार्थ, क्षेत्रफळ (Area) आणि परिघ (Perimeter) गणनेसाठी विद्यार्थ्यांना विविध आकारांच्या कागदी तुकड्यांचे माप काढून दाखवा.
"वर्ग, आयत आणि त्रिकोण" यांचे क्षेत्रफळ काढण्याचे प्रमाण व त्यातील बदल दाखवून विद्यार्थ्यांना त्याची स्पष्टता मिळवता येईल.
-
मापनांचे प्रयोग:
विविध वस्तूंचे माप घेऊन त्यात समवाय किंवा गुणाकार पद्धती कशी लागू होते, हे विद्यार्थ्यांना दाखवणे.
उदाहरणार्थ, एका भिंतीच्या लांबी, रुंदी आणि उंची मोजून त्याच्या क्षेत्रफळाचे माप काढणे.
-
गणित प्रयोग:
विद्यार्थ्यांना गणिताचे अनुभव घेण्यासाठी विविध प्रयोग तयार करून द्या.
उदाहरणार्थ, क्षेत्रफळ (Area) आणि परिघ (Perimeter) गणनेसाठी विद्यार्थ्यांना विविध आकारांच्या कागदी तुकड्यांचे माप काढून दाखवा.
"वर्ग, आयत आणि त्रिकोण" यांचे क्षेत्रफळ काढण्याचे प्रमाण व त्यातील बदल दाखवून विद्यार्थ्यांना त्याची स्पष्टता मिळवता येईल. -
मापनांचे प्रयोग:
विविध वस्तूंचे माप घेऊन त्यात समवाय किंवा गुणाकार पद्धती कशी लागू होते, हे विद्यार्थ्यांना दाखवणे.
उदाहरणार्थ, एका भिंतीच्या लांबी, रुंदी आणि उंची मोजून त्याच्या क्षेत्रफळाचे माप काढणे.
३. संगणक व सॉफ्टवेअरचा वापर (Using Computers and Software)
उदाहरण:
-
गणितीय सॉफ्टवेअर वापरणे:
गणिताच्या विविध संकल्पनांची प्रत्यक्ष अनुभव देण्यासाठी सॉफ्टवेअरचा वापर करा.
Geogebra आणि Desmos सारख्या सॉफ्टवेअरचा वापर करून विद्यार्थ्यांना त्रिकोण, वर्तुळ आणि इतर आकृत्यांचा ग्राफ काढण्यासाठी प्रोत्साहित करा.
यामुळे त्यांना गणिताच्या संकल्पनांचा दृश्यात्मक समज मिळेल.
-
गणितीय सॉफ्टवेअर वापरणे:
गणिताच्या विविध संकल्पनांची प्रत्यक्ष अनुभव देण्यासाठी सॉफ्टवेअरचा वापर करा.
Geogebra आणि Desmos सारख्या सॉफ्टवेअरचा वापर करून विद्यार्थ्यांना त्रिकोण, वर्तुळ आणि इतर आकृत्यांचा ग्राफ काढण्यासाठी प्रोत्साहित करा.
यामुळे त्यांना गणिताच्या संकल्पनांचा दृश्यात्मक समज मिळेल.
४. गटवद्ध कार्य (Group Work)
उदाहरण:
-
समूहात प्रकल्प करणे:
विद्यार्थ्यांना गटात विभागून गणिताची समस्या सोडवण्यास प्रोत्साहित करा.
उदाहरणार्थ, "नोकरीचा टाईमटेबल तयार करणे" या प्रकारच्या प्रकल्पात गणिताची संकल्पना वापरणे.
समूहासोबतच ते एकत्र विचार करतात आणि प्रत्येक गटाचे समाधान तपासले जाते.
-
समूहात प्रकल्प करणे:
विद्यार्थ्यांना गटात विभागून गणिताची समस्या सोडवण्यास प्रोत्साहित करा.
उदाहरणार्थ, "नोकरीचा टाईमटेबल तयार करणे" या प्रकारच्या प्रकल्पात गणिताची संकल्पना वापरणे.
समूहासोबतच ते एकत्र विचार करतात आणि प्रत्येक गटाचे समाधान तपासले जाते.
५. विविध आकृत्यांचा वापर (Using Different Shapes)
उदाहरण:
-
संपूर्ण आकृतींचा वापर:
विद्यार्थ्यांना २डी व ३डी आकारांची निर्मिती करण्यासाठी कागदी तुकड्यांचा किंवा प्लास्टिक मॉडेल्सचा वापर करा.
उदाहरणार्थ, विद्यार्थ्यांना एक स्फेरिकल (गोलाकार) किंवा चतुर्भुज (चौकोन) आकृती बनवायला सांगा.
यामुळे त्यांना आकारांच्या गुणधर्मांचा प्रत्यक्ष अनुभव मिळेल.
-
संपूर्ण आकृतींचा वापर:
विद्यार्थ्यांना २डी व ३डी आकारांची निर्मिती करण्यासाठी कागदी तुकड्यांचा किंवा प्लास्टिक मॉडेल्सचा वापर करा.
उदाहरणार्थ, विद्यार्थ्यांना एक स्फेरिकल (गोलाकार) किंवा चतुर्भुज (चौकोन) आकृती बनवायला सांगा.
यामुळे त्यांना आकारांच्या गुणधर्मांचा प्रत्यक्ष अनुभव मिळेल.
६. शालेय परिसरातील गणित (Mathematics in Daily Life)
उदाहरण:
-
गणित वापरणे:
विद्यार्थ्यांना आपल्या रोजच्या आयुष्यातील गणिती समस्या समजवून दाखवा.
उदाहरणार्थ, तापमानाची मोजमाप, खरेदीची यादी, डोक्याच्या आकाराची गणना इत्यादी.
यामुळे त्यांना गणिताच्या प्रॅक्टिकल उपयोगाची जाणीव होईल.
-
गणित वापरणे:
विद्यार्थ्यांना आपल्या रोजच्या आयुष्यातील गणिती समस्या समजवून दाखवा.
उदाहरणार्थ, तापमानाची मोजमाप, खरेदीची यादी, डोक्याच्या आकाराची गणना इत्यादी.
यामुळे त्यांना गणिताच्या प्रॅक्टिकल उपयोगाची जाणीव होईल.
७. क्रिया आणि प्रतिक्रिया (Action and Reaction)
उदाहरण:
-
प्रश्न सोडवण्याची कृती:
विद्यार्थ्यांना गणिती समस्यांवर काम करायला सांगा, जिथे ते एकाच गोष्टीची पुन्हा-पुन्हा चुकता व तपासतात.
उदाहरणार्थ, वाढीव सरासरी, बिनवृद्धी संख्यांचे समाधान, हे सर्व विद्यार्थ्यांनी स्वतंत्रपणे सोडवावे.
-
प्रश्न सोडवण्याची कृती:
विद्यार्थ्यांना गणिती समस्यांवर काम करायला सांगा, जिथे ते एकाच गोष्टीची पुन्हा-पुन्हा चुकता व तपासतात.
उदाहरणार्थ, वाढीव सरासरी, बिनवृद्धी संख्यांचे समाधान, हे सर्व विद्यार्थ्यांनी स्वतंत्रपणे सोडवावे.
निष्कर्ष:
प्रायोगिक पद्धतीचे महत्त्व गणिताच्या शिक्षणात खूपच आहे. विद्यार्थ्यांना प्रत्यक्ष अनुभव व कृतीच्या माध्यमातून संकल्पना समजून घेता येतात.
तुम्ही ज्या पद्धतीने प्रायोगिक उपक्रम वापरता, त्याप्रमाणे विद्यार्थ्यांना गणिताच्या संकल्पना अधिक स्पष्ट व लक्षात राहतील.
प्रत्येक गोष्टीला वास्तविक जीवनाशी जोडणे आणि त्या गोष्टींचा अनुभव घेणे हे विद्यार्थी गणिताच्या ज्ञानात खोलवर शिकलो जातात.
प्रायोगिक पद्धतीचे महत्त्व गणिताच्या शिक्षणात खूपच आहे. विद्यार्थ्यांना प्रत्यक्ष अनुभव व कृतीच्या माध्यमातून संकल्पना समजून घेता येतात.
तुम्ही ज्या पद्धतीने प्रायोगिक उपक्रम वापरता, त्याप्रमाणे विद्यार्थ्यांना गणिताच्या संकल्पना अधिक स्पष्ट व लक्षात राहतील.
प्रत्येक गोष्टीला वास्तविक जीवनाशी जोडणे आणि त्या गोष्टींचा अनुभव घेणे हे विद्यार्थी गणिताच्या ज्ञानात खोलवर शिकलो जातात.
१. गणिताचा अर्थ आणि स्वरूप
गणित हे मानवाच्या बौद्धिक विकासाचे सर्वात महत्त्वाचे साधन आहे. गणिताचा संबंध संख्याशास्त्र, मापन, आकृती, सांख्यिकी, बीजगणित, भूमिती इत्यादी शाखांशी आहे. गणिताचे अध्ययन केल्याने व्यक्तीमध्ये तर्कशुद्ध विचार, समस्या सोडविण्याची क्षमता, विश्लेषणात्मक दृष्टिकोन आणि शिस्तप्रियता निर्माण होते.
गणिताचे स्वरूप पुढीलप्रमाणे आहे –
-
अचूकता व निश्चितता असलेले शास्त्र
-
तर्कशुद्ध विचारांवर आधारित
-
सर्वसाधारण सिद्धांतांवर आधारित
-
नियमबद्ध व सुसंगत
-
सर्व विषयांना आधार देणारे शास्त्र (भौतिकशास्त्र, अभियांत्रिकी, अर्थशास्त्र इ.)
स्पष्टीकरण:
गणित शून्याच्या शोधापासून ते अवकाशयानांच्या गणनेपर्यंत सर्वत्र कार्यरत आहे. म्हणूनच गणिताला "सर्व शास्त्रांची माता" असेही म्हटले जाते. गणिताशिवाय आधुनिक जीवनाची कल्पनाही करता येत नाही.
२. गणित शिक्षणाची उद्दिष्टे
गणित शिकवताना शिक्षकाने खालील उद्दिष्टे गाठण्याचा प्रयत्न करावा:
-
गणितीय संकल्पनांचे स्पष्ट आकलन करणे:
उदाहरणार्थ, पायथागोरसचे प्रमेय समजावून घेणे. -
तर्कशुद्ध विचारक्षमता विकसित करणे:
विद्यार्थी विचारपूर्वक उत्तर कसे शोधतो हे महत्त्वाचे. -
समस्या सोडविण्याची कौशल्ये वाढवणे:
विद्यार्थ्याला विविध पद्धतीने उदाहरणे सोडवायला शिकवणे. -
गणिताची उपयुक्तता समजावून सांगणे:
दैनंदिन जीवनातील व्यवहारात गणिताचा वापर (जसे की बजेट तयार करणे). -
गणितात गोडी व आत्मविश्वास निर्माण करणे:
विद्यार्थी गणिताला भीतीने नाही तर आवडीने शिकू लागतो.
स्पष्टीकरण:
जर उद्दिष्टे स्पष्ट असतील तर विद्यार्थी गणिताचा ताळमेळ आयुष्यातील अनुभवांशी लावतो आणि त्याची शैक्षणिक प्रगती होते.
३. आशययुक्त अध्यापन म्हणजे काय?
आशययुक्त अध्यापन म्हणजे विद्यार्थ्यांना केवळ तोंडी पाठांतर न शिकवता, त्या विषयामागील मूळ संकल्पना, सिद्धांत व त्यांच्या उपयोगासह शिकविणे.
'आशय' म्हणजे जे काही शिकवायचे आहे ते संकल्पनांसह, उदाहरणांसह आणि जीवनाशी संबंध जोडून शिकवणे.
आशययुक्त अध्यापनाची वैशिष्ट्ये:
-
विद्यार्थी केंद्रित अध्यापन
-
संकल्पनांची स्पष्टता
-
अनुभवांवर आधारित शिकवणूक
-
विचारप्रेरक व जिज्ञासा वाढवणारे अध्यापन
-
प्रत्यक्ष अनुप्रयोगासह शिकविणे
स्पष्टीकरण:
उदा. जर आपण 'क्षेत्रफळ' शिकवत असू, तर फक्त सूत्र सांगण्याऐवजी विद्यार्थ्यांना प्रत्यक्ष मैदान मोजायला लावावे, त्यामुळे 'क्षेत्रफळ' ही संकल्पना त्यांच्या प्रत्यक्ष अनुभवावर आधारित ठरते.
४. गणित अध्यापनाच्या पद्धती (Methods of Teaching Mathematics)
गणित शिकवण्यासाठी विविध पद्धती आहेत. त्या विद्यार्थ्यांच्या वयोमान, क्षमता व शिकण्याच्या उद्दिष्टांनुसार निवडल्या जातात:
(१) व्यवहारवादी पद्धती (Activity Method):
विद्यार्थ्यांना प्रत्यक्ष कृतीतून शिकवले जाते. जसे की आकृती तयार करणे, मापन करणे.
स्पष्टीकरण: उदाहरणार्थ, त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शिकवताना विद्यार्थ्यांना प्रत्यक्ष त्रिकोणाचे कागदी मॉडेल बनवायला सांगितले जाते.
(२) विषयप्रधान पद्धती (Inductive-Deductive Method):
-
Inductive: उदाहरणे दिल्यानंतर सामान्य नियम शोधून काढणे.
-
Deductive: नियम आधी सांगून नंतर उदाहरणे सोडविणे.
स्पष्टीकरण: जर आपण सर्व लांबट चौकोनांची बाजू मोजून पाहतो आणि मग नियम तयार करतो की "वृत्ताची परिघाची सूत्र πd असते" — हा Inductive पद्धतीचा उपयोग आहे.
(३) संकल्पनात्मक पद्धती (Conceptual Method):
विद्यार्थ्यांना गणिती संकल्पना (जसे की गती, क्षेत्रफळ, परिघ) समजावून देण्यावर भर.
(४) प्रकल्प पद्धती (Project Method):
विद्यार्थ्यांना छोट्या प्रकल्पांमध्ये सामील करून गणित शिकवले जाते.
उदा. "घराच्या भिंतींसाठी किती रंग लागेल?" या प्रकल्पाद्वारे क्षेत्रफळ व गणना शिकवता येते.
५. प्रभावी गणित अध्यापनासाठी आवश्यक बाबी
-
रुची निर्माण करणे: उदाहरणे, कोडी, खेळ यांचा वापर करून गणितात रस निर्माण करणे.
-
सोपी ते अवघड शिकविणे: सोप्या उदाहरणांपासून अवघड संकल्पनांकडे गतीशील शिक्षण.
-
दृश्य साधनांचा वापर: आकृती, आलेख, चार्ट, 3D मॉडेल्स यांचा उपयोग.
-
विद्यार्थ्यांचा सक्रिय सहभाग: उदाहरण सोडवायला लावणे, गटात काम करायला लावणे.
-
समस्यांवर आधारित शिकवणूक: व्यवहारातील प्रश्न सोडवायला शिकविणे.
निष्कर्ष (Conclusion)
गणित हे केवळ अंकांचे किंवा सूत्रांचे पाठांतर नसून ते विचारशक्तीला चालना देणारे शास्त्र आहे. योग्य आशययुक्त पद्धतीने अध्यापन केल्यास विद्यार्थी गणिताला भीतीने नाही तर आनंदाने शिकतील. शिक्षकाने विद्यार्थ्यांच्या बुद्धिमत्ता, गती, रुची लक्षात घेऊन अध्यापनाचे तंत्र ठरवले पाहिजे. गणिताचे जीवनातील महत्त्व पटवून दिल्यास, विद्यार्थीही त्याचा आत्मविश्वासाने उपयोग करू शकतील.
६. गणित शिक्षणाचे महत्त्व
गणित शिक्षणाचे महत्त्व केवळ परीक्षेसाठी नसून व्यक्तीच्या एकूण बौद्धिक विकासासाठी आहे.
महत्त्व पुढीलप्रमाणे:
-
तर्कशुद्ध विचारक्षमता विकसित होते: गणिताच्या सूत्रांमध्ये विचारपूर्वक नियमांचा वापर करावा लागतो.
-
समस्या सोडविण्याची क्षमता वाढते: विविध गणिती उदाहरणांमधून समस्या सोडविण्याच्या सवयी लागतात.
-
आत्मविश्वास वाढतो: गणिती गणना यशस्वी केल्यास आत्मविश्वास वाढतो.
-
शिस्तप्रियता व कार्यपद्धती विकसित होते: गणितात टप्प्याटप्प्याने पद्धतशीर काम करावे लागते.
-
इतर शास्त्रांसाठी आधारभूत बनते: भौतिकशास्त्र, रसायनशास्त्र, अर्थशास्त्र, अभियांत्रिकी इ. विषयांचे मूलभूत गणित आवश्यक आहे.
स्पष्टीकरण:
जसे एखादा विद्यार्थी गणितात गतीशील असेल, तर तो कोणत्याही शास्त्रीय समस्येला तार्किक पद्धतीने सोडवू शकतो. गणित जीवनाचे एक महत्त्वाचे शस्त्र आहे.
७. प्रभावी गणित अध्यापनाचे तत्त्वज्ञान
(१) विद्यार्थी केंद्रित शिक्षण
शिक्षकाने विद्यार्थ्यांच्या पातळीवर जाऊन शिकविले पाहिजे.
उदा. संख्याश्रेणी शिकवताना प्रथम विद्यार्थ्यांच्या व्यवहारातील उदाहरणे द्यावीत (जसे की शाळेतील क्रमांक).
(२) तोंडून पाठांतर टाळणे
गणित फक्त सूत्रे पाठ करून येत नाही; ती समजून घेतली पाहिजेत. शिक्षकाने सूत्राचा अर्थ समजावून सांगावा.
(३) वास्तविक जीवनाशी संबंधित शिक्षण
गणिताचे उदाहरणे प्रत्यक्ष जीवनाशी संबंधित असावीत, जसे कि दुकानातील खरेदी, प्रवासाचा खर्च मोजणे इत्यादी.
(४) संपर्क साधनांचा योग्य वापर
साधनांचा (चार्ट्स, आकृती, मापन उपकरणे) वापर करून गणिती संकल्पना अधिक स्पष्ट करता येतात.
स्पष्टीकरण:
उदा. "त्रिकोणाचा क्षेत्रफळ = ½ × आधार × उंची" समजावून सांगताना प्रत्यक्ष त्रिकोणाची आकृती तयार करून दाखविल्यास विद्यार्थ्यांना सूत्र सहज लक्षात राहते.
८. गणितातील मूलभूत संकल्पना (Fundamental Concepts)
गणितातील काही मूलभूत संकल्पना ज्या प्रत्येक विद्यार्थ्याला नीट समजावल्या पाहिजेत:
| क्र. | संकल्पना | स्पष्टीकरण |
|---|---|---|
| १ | संख्या व संख्याश्रेणी | Natural numbers, whole numbers, integers, rational and irrational numbers समजावून सांगणे. |
| २ | भूमिती (Geometry) | रेषा, त्रिकोण, चौरस, वर्तुळ यांचे गुणधर्म समजावणे. |
| ३ | मापन (Measurement) | लांबी, क्षेत्रफळ, घनफळ, वजने मोजणे. |
| ४ | बीजगणित (Algebra) | चल (variables) आणि स्थिरांक (constants) यांचा उपयोग शिकवणे. |
| ५ | सांख्यिकी (Statistics) | सरासरी, मध्यमक (median), प्रवृत्ती केंद्र (mode) शिकविणे. |
९. गणित अध्यापनात येणाऱ्या अडचणी
शिक्षक व विद्यार्थ्यांना गणित शिकवताना काही समस्या येतात:
-
गणिताची भीती (Math Anxiety)
-
संकल्पनांची योग्य समज नसणे
-
तोंडून पाठ करण्याची चुकीची सवय
-
प्रत्यक्ष जीवनाशी गणित जोडण्यात अपयश
-
गणिती भाषा कठीण वाटणे
उपाय:
-
विद्यार्थ्यांच्या गतीनुसार शिकवणे.
-
छोटे छोटे टप्पे करणे.
-
प्रत्यक्ष अनुभवावर आधारित उदाहरणे वापरणे.
-
गटकार्य व सहकार्याने शिकविणे.
१०. प्रभावी गणित शिक्षकाची वैशिष्ट्ये
एक प्रभावी गणित शिक्षक कसा असावा?
-
विषयाचे गाढ ज्ञान असावे.
-
शिकवण्याची विविध पद्धती आत्मसात कराव्यात.
-
विद्यार्थ्यांना विचार करायला प्रवृत्त करावे.
-
गणितात गोडी निर्माण करावी.
-
विद्यार्थ्यांचे आत्मविश्वास वाढवावे.
स्पष्टीकरण:
गणित शिक्षकाने "मी सांगतो, तू ऐक" या वृत्तीऐवजी "चला एकत्र शोधूया" अशी शिकवण्याची शैली ठेवली पाहिजे.
निष्कर्ष (Conclusion)
गणित शिकवताना शिक्षकाने विद्यार्थ्याच्या अनुभवाशी संकल्पना जोडल्या पाहिजेत. गणितातील सूत्रे पाठ करून नव्हे, तर ती कशी तयार झाली आणि त्यांच्या मागचा तर्क काय आहे, हे समजावून देऊन अध्यापन करणे म्हणजेच खरे "आशययुक्त अध्यापन" होय.
गणिताचा अभ्यास विद्यार्थ्याला फक्त शाळेपुरता नाही तर जीवनभर उपयोगी पडतो, म्हणूनच गणिताचे अध्यापन कल्पक, उपयुक्त व जीवनाशी निगडित असावे.
११. आशययुक्त गणित अध्यापनाचा अर्थ (Meaning of Conceptual Mathematics Teaching)
आशययुक्त अध्यापन म्हणजे फक्त नियम व सूत्रे न शिकवता, त्या मागचे अर्थ, विचारप्रक्रिया, आणि अनुभव समजावून देणे.
मुख्य वैशिष्ट्ये:
-
सूत्र कसे तयार होते ते समजावून सांगणे.
-
वास्तविक जीवनातील उदाहरणांशी जोडणे.
-
प्रत्येक संकल्पनेचा अनुभव देणे.
-
केवळ उत्तर देण्यावर भर न देता प्रक्रियेमध्ये रस निर्माण करणे.
उदाहरण:
"क्षेत्रफळ" शिकवताना एकदम सूत्र न सांगता, एखाद्या चौकोनाच्या वर्तुळाच्या जागा मोजून मग सूत्र निर्माण करायला शिकवणे.
१२. गणितातील मुख्य संकल्पनांची उकल कशी करावी?
१) रचनात्मक पद्धतीने (Constructive Method):
विद्यार्थ्यांना स्वतःहून शोध घेण्याची संधी द्या.
उदा: त्रिकोणाचे अंतरंग गुणधर्म विद्यार्थ्यांना कागदावर आकृती करून शोधायला लावा.
२) प्रत्यक्ष प्रयोग व प्रात्यक्षिक (Activity Based Learning):
छोट्या छोट्या कृतीद्वारे संकल्पना शिकवावी.
उदा: क्षेत्रफळ शिकवताना मोजणीचे साधने (Scale, Graph Paper) वापरणे.
३) संवादात्मक शिकवण (Interactive Teaching):
विद्यार्थ्यांशी प्रश्नोत्तराच्या माध्यमातून संवाद साधत शिकवावे.
उदा: "एका घनाचा किती घनफळ असेल?" असा प्रश्न विचारून चर्चेने उत्तर मिळवणे.
१३. अध्यापनासाठी वापरण्याजोग्या काही प्रभावी पद्धती
| पद्धतीचे नाव | उपयोग |
|---|---|
| शोधपद्धती (Discovery Method) | गणिती नियम स्वतःच्या प्रयत्नाने शोधायला लावणे |
| कृती-आधारित पद्धत (Activity Based Method) | गणिती संकल्पनांचा प्रत्यक्ष अनुभव देणे |
| प्रकल्प पद्धती (Project Method) | गणिताचा वापर करून एखादा प्रत्यक्ष प्रकल्प तयार करणे |
| खेळ आधारित पद्धत (Game-Based Learning) | गणिती संकल्पना खेळाच्या माध्यमातून शिकवणे |
| गट शिक्षण (Group Learning) | गटाने काम करत गणिती समस्यांचे निराकरण करणे |
१४. गणित शिकवताना शिक्षकाने लक्षात ठेवायच्या गोष्टी
-
सर्व विद्यार्थ्यांचे विचार समजावून घ्या.
-
चुका होऊ द्या व त्या सकारात्मक पद्धतीने सुधारल्या पाहिजेत.
-
प्रत्येक टप्प्यावर मुलांना विचार करायला लावा.
-
भीती दूर करण्यासाठी प्रोत्साहन द्या.
-
एकाच संकल्पनेचे विविध पद्धतींनी स्पष्टीकरण द्या.
१५. गणिताच्या अध्यापनासाठी उपयुक्त साधने (Teaching Aids)
| साधन | उपयोग |
|---|---|
| आकृतीपत्रके (Charts) | आकृती, मापन, गुणधर्म समजवण्यासाठी |
| गणिती साधने (Geometric Instruments) | रेषा, वर्तुळ, कोन तयार करण्यासाठी |
| फ्लॅश कार्ड्स | संख्याश्रेणी व सरावासाठी |
| डिजिटल साधने (Apps, Videos) | प्रत्यक्ष अॅनिमेशनद्वारे संकल्पना समजावण्यासाठी |
| घन आकृती (3D Models) | घनफळ व क्षेत्रफळ शिकवताना उपयोगी |
१६. गणितातील "अवघड" संकल्पनांचे सहज अध्यापन कसे करावे?
-
संकल्पना तुकड्यांत विभागा.
-
सोप्या उदाहरणांपासून सुरुवात करा.
-
विद्यार्थ्यांमध्ये चर्चा घडवा.
-
साध्या शब्दांत व्याख्या द्या.
-
चित्रे, आकृती व प्रत्यक्ष वस्तू वापरा.
१७. गणित आणि जीवन यांच्यातील संबंध
गणित फक्त शाळेच्या अभ्यासापुरते मर्यादित नाही, तर जीवनातील अनेक ठिकाणी गणिताचा वापर होतो:
-
व्यापार: नफा-तोटा मोजण्यासाठी.
-
गृहोपयोगी व्यवहार: वीजबिल, किराणा खरेदी यासाठी.
-
वैद्यकीय क्षेत्र: औषधाचे प्रमाण मोजण्यासाठी.
-
अभियांत्रिकी: पुल, इमारती बांधताना.
स्पष्टीकरण:
जसे एखादा घर बांधणारा अभियंता घराच्या रचनेंत गणित वापरतो, तसेच सामान्य माणूसही बाजारात खरेदी करताना गणित वापरतो.
१८. अध्यापन मूल्यांकन (Evaluation of Teaching)
गणित अध्यापनानंतर मुलांना केवळ प्रश्न विचारून नाही तर:
-
नवीन संकल्पना वापरून समस्या सोडवता येते का?
-
नवीन उदाहरणे स्वतः तयार करता येतात का?
-
इतर विषयांशी गणित जोडता येते का?
हे सर्व निकष वापरून विद्यार्थ्यांचे मूल्यमापन करावे.
अंतिम निष्कर्ष:
"गणित हे केवळ आकडेमोड नसून विचार करण्याची कला आहे. जर आपण गणित शिकवत असताना विद्यार्थ्यांना आकड्यांच्या पलिकडचे तत्त्व समजावून दिले, तरच आपले अध्यापन आशययुक्त ठरेल."
गणित आशययुक्त अध्यापन पद्धती — महत्त्वाचे प्रश्न व सविस्तर उत्तरे
प्रश्न १: गणिताच्या आशययुक्त अध्यापनाचा अर्थ व गरज स्पष्ट करा.
उत्तर:
गणिताच्या आशययुक्त अध्यापनाचा अर्थ:
"आशययुक्त अध्यापन" म्हणजे फक्त सूत्रे पाठ करून घेणे नाही, तर त्या मागचे तत्त्व, प्रक्रिया, आणि संकल्पना समजावून घेणे व शिकवणे होय.
यामध्ये विद्यार्थ्यांना गणितातील नियम का व कसे येतात याचा विचार करायला लावणे, अनुभवावर आधारित शिकवण देणे, व गणिताचा वापर प्रत्यक्ष जीवनाशी जोडणे अपेक्षित असते.
उदाहरणार्थ, पायथागोरसचा सिद्धांत फक्त 'a²+b²=c²' म्हणून सांगणे हा आशययुक्त अध्यापन होत नाही. तर प्रत्यक्षात त्रिकोणाच्या बाजू मोजून सिद्धांत सिद्ध करणे व त्याचा वापर दाखवणे हे खरे आशययुक्त अध्यापन होय.
गणिताच्या आशययुक्त अध्यापनाची गरज:
१. खरे ज्ञान निर्माण होण्यासाठी:
विद्यार्थी फक्त उत्तर लक्षात ठेवत नाही, तर सूत्राचा आधार समजून घेतो.
२. आवड व रस निर्माण होतो:
जेव्हा शिकवलेली गोष्ट अर्थपूर्ण असते तेव्हा विद्यार्थी त्यात रस घेतो.
३. विचारशक्ती वाढते:
गणितातील समस्यांवर विचार करताना तार्किक व वैज्ञानिक दृष्टिकोन विकसित होतो.
४. आजीवन उपयोगासाठी:
रोजच्या व्यवहारात मोजमाप, खरेदी-विक्री, गृहव्यवहार आदी ठिकाणी गणिताचा योग्य वापर करता येतो.
५. चुकीच्या समजुती दूर होतात:
केवळ पाठांतराने येणाऱ्या चुकीच्या समजुती आशययुक्त अध्यापनामुळे कमी होतात.
६. समस्या सोडवण्याची क्षमता वाढते:
विद्यार्थ्यांना नवीन व अनोख्या प्रश्नांना उत्तर शोधण्याची क्षमता मिळते.
प्रश्न २: गणितातील आशययुक्त अध्यापनासाठी कोणत्या पद्धती प्रभावी ठरतात? उदाहरणांसहित स्पष्ट करा.
उत्तर:
गणितातील आशययुक्त अध्यापनासाठी खालील पद्धती प्रभावी ठरतात:
१) शोधपद्धती (Discovery Method):
विद्यार्थ्यांना स्वतःहून प्रयोग करून नियम, सूत्र किंवा निष्कर्ष शोधायला लावणे.
उदा.:
विद्यार्थ्यांनी स्वतः आकृती कापून जोडून त्रिकोणाचे कोनांमध्ये संबंध शोधावा.
२) कृती-आधारित अध्यापन (Activity Based Learning):
प्रत्यक्ष कृतीतून शिकवणे. अनुभवाने शिकलेल्या गोष्टी जास्त काळ लक्षात राहतात.
उदा.:
गणिती घन (Cubes, Cuboids) तयार करून घनफळ आणि पृष्ठफळ शिकवणे.
३) प्रकल्प पद्धत (Project Method):
गणिताचा वापर करून प्रत्यक्ष जीवनातील एखादा प्रकल्प पूर्ण करणे.
उदा.:
"माझ्या शाळेचा संपूर्ण नकाशा" तयार करताना क्षेत्रफळ मोजणे, मोजमाप करणे वगैरे.
४) गट शिक्षण (Group Learning):
विद्यार्थ्यांनी गटात काम करून एकमेकांच्या मदतीने संकल्पना समजून घेणे.
उदा.:
गटाने मिळून एक आकृती तयार करणे व त्याचे मापन करणे.
५) खेळ व स्पर्धा (Games and Competitions):
खेळाच्या माध्यमातून आकडेमोड व गणिती कौशल्ये वाढवणे.
उदा.:
"गणिती कोडी सोडवा" स्पर्धा घेणे.
निष्कर्ष:
गणित शिकवताना विविध पद्धतींचा समावेश केल्यास विद्यार्थी केवळ ज्ञानच मिळवत नाहीत, तर गणिताचे मूलभूत तत्त्व आत्मसात करतात.
प्रश्न ३: गणिताच्या अध्यापनात शिक्षकाने कोणत्या गोष्टी लक्षात घ्याव्यात? सविस्तर लिहा.
उत्तर:
गणित शिकवताना शिक्षकाने खालील गोष्टी लक्षात ठेवाव्यात:
१) विद्यार्थ्यांची तयारी ओळखावी:
-
प्रत्येक विद्यार्थ्याची गणितातील पूर्वतयारी वेगळी असते.
-
अशक्त विद्यार्थ्यांना जास्त मार्गदर्शन द्यावे.
२) सोप्या उदाहरणांनी सुरुवात करावी:
-
नवीन संकल्पना शिकवताना सोप्या उदाहरणांचा वापर करावा.
-
उदाहरणे वास्तविक जीवनाशी संबंधित असावीत.
३) आकृती व प्रत्यक्ष साधनांचा वापर करावा:
-
गणितातील संकल्पना स्पष्ट करण्यासाठी आकृती, चार्ट, मॉडेल्स वापरावेत.
४) प्रश्न विचारून चर्चा घडवावी:
-
एकतर्फी शिकवण टाळावी.
-
प्रश्नोत्तर पद्धतीने संवाद साधावा.
५) चुका सकारात्मक पद्धतीने सुधाराव्यात:
-
चुकीची उत्तरे आल्यास विद्यार्थ्यांचा आत्मविश्वास नढळवता सुधारणा करावी.
६) स्वतः उदाहरण बनवून दाखवावे:
-
उदा. एखाद्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ मोजताना प्रत्यक्ष कागदावर आकृती करून दाखवावी.
७) गणित आणि जीवन यामधील संबंध स्पष्ट करावा:
-
उदा. 'सरासरी' ही संकल्पना शिकवताना विद्यार्थ्यांच्या गुणांची सरासरी कशी काढायची ते दाखवावे.
निष्कर्ष:
शिक्षकाने गणित शिकवताना तांत्रिकतेपेक्षा अनुभव व अर्थपूर्ण अध्यापनावर भर दिला पाहिजे. त्यामुळेच विद्यार्थी गणिताचा "भीतीचा विषय" नसून "रसाचा विषय" म्हणून स्वीकारतील.
प्रश्न ४: गणित अध्यापनासाठी उपयुक्त साधनांचे (Teaching Aids) प्रकार व त्यांचा उपयोग स्पष्ट करा.
उत्तर:
गणिताच्या अध्यापनासाठी खालील उपयुक्त साधने वापरता येतात:
१) आकृती व चार्ट (Charts):
-
त्रिकोण, चौरस, वर्तुळ यांच्या गुणधर्मांचे चार्ट लावल्याने विद्यार्थी आकृतीतील वैशिष्ट्ये सहज लक्षात ठेवतात.
२) गणिती साधने (Mathematical Instruments):
-
कंपास, प्रोटेक्टर, स्केल इत्यादी साधनांचा वापर करून अचूक मापन करणे शिकवता येते.
३) घन व पृष्ठीय आकृती (3D Models):
-
घनफळ व क्षेत्रफळ शिकवताना घन आकृती हाताळून प्रत्यक्ष अनुभव देता येतो.
४) डिजिटल साधने (Digital Tools):
-
गणित शिकवणाऱ्या अॅप्स, व्हिडीओज, सॉफ्टवेअरचा वापर करून संकल्पना समजावता येतात.
५) फ्लॅश कार्ड्स व गेम्स:
-
संख्याश्रेणी, गुणाकार, भागाकार यांच्या सरावासाठी कार्ड्सचा व खेळांचा वापर होतो.
निष्कर्ष:
योग्य साधनांचा वापर केल्याने गणिताच्या संकल्पना सुलभ व आकर्षक बनतात आणि विद्यार्थी गणिताचा गाढा अभ्यास करतात.
प्रश्न ५: गणितातील संकल्पना शिकविताना कोणती तत्त्वे पाळली पाहिजेत?
उत्तर:
गणिताच्या संकल्पना शिकवताना खालील तत्त्वे पाळली पाहिजेत:
१) सोप्या ते कठीण पद्धतीने शिकवावे:
-
आधी सोप्या संकल्पना शिकवाव्यात.
-
उदाहरणार्थ, भागाकार शिकवायच्या आधी गुणाकार समजावून घ्यावा.
२) सजीवता व अर्थपूर्णता ठेवावी:
-
संकल्पना कोरड्या न ठेवता जीवनाशी जोडा.
-
उदा.: "क्षेत्रफळ" शिकवताना बागेतील जागा मोजण्याचे उदाहरण.
३) शिकवण्याचा क्रम निश्चित ठेवावा:
-
गोंधळ टाळण्यासाठी अध्यापनाची शिस्तबद्ध योजना तयार करावी.
४) प्रत्यक्ष कृती व प्रयोगावर भर द्यावा:
-
कागदावर सरळ रेषा आखण्याऐवजी कंपासने व स्केलने प्रत्यक्ष रेषा आखायला शिकवावे.
५) विद्यार्थी केंद्रित अध्यापन करावे:
-
शिक्षक फक्त मार्गदर्शक; विद्यार्थी स्वतः प्रयत्न करतील.
निष्कर्ष:
गणित शिकवताना या तत्त्वांचे पालन केल्यास अध्यापन आशययुक्त व प्रभावी ठरते.
प्रश्न ६: गणिताच्या अध्यापनात आकृती व प्रत्यक्ष साधनांचा कसा वापर करावा?
उत्तर:
गणित शिकवताना आकृती व प्रत्यक्ष साधनांचा वापर अत्यंत महत्त्वाचा आहे.
आकृतींचा वापर:
१) त्रिकोण, चौरस, वर्तुळ यांचे स्पष्ट आकृतिबंध काढून दाखवावेत. २) क्षेत्रफळ व घनफळ समजवण्यासाठी रंगीत आकृती वापराव्यात. ३) वर्तुळाचे क्षेत्रफळ शिकवताना वर्तुळाचे तुकडे करून सरळ रेषेत जोडून दाखवावे.
प्रत्यक्ष साधनांचा वापर:
१) मोजमाप करण्यासाठी टेप, स्केल यांचा वापर. २) 3D Models च्या साहाय्याने घन आकृती समजावून सांगणे. ३) संख्यारेषा (Number Line) वापरून बेरीज व वजाबाकी शिकवणे.
निष्कर्ष:
प्रत्यक्ष साधने व आकृतीमुळे गणिताचा अभ्यास सोपा, रोचक आणि प्रभावी बनतो.
प्रश्न ७: गणितातील गती व तांत्रिक कौशल्ये विकसित करण्यासाठी कोणत्या पद्धती उपयुक्त आहेत?
उत्तर:
गणितातील गती व तांत्रिक कौशल्ये वाढवण्यासाठी खालील उपाय उपयोगी आहेत:
१) दैनंदिन सराव:
-
दररोज गणिती क्रियांचे सरावसत्र घ्यावे.
२) वेगवेगळ्या प्रकारचे प्रश्न सोडवणे:
-
केवळ एकाच पद्धतीचे प्रश्न नव्हे तर विविध प्रकारचे प्रश्न सोडवायला लावावेत.
३) गणिती खेळ व कोडी:
-
बुद्धिमत्ता वाढवणारी गणिती कोडी व स्पर्धा घ्याव्यात.
४) वेगवेगळ्या सूत्रांचा तोंडपाठ सराव:
-
सारणी, वर्ग व वर्गमूळ, घन व घनमूळ तोंडपाठ असावेत.
निष्कर्ष:
नित्य सराव व योग्य मार्गदर्शनामुळे विद्यार्थ्यांची गणिती गती व कौशल्ये लक्षणीय वाढतात.
प्रश्न ८: गणित विषयाची भीती कमी करण्यासाठी शिक्षकाने कोणत्या उपाययोजना कराव्यात?
उत्तर:
गणिताची भीती कमी करण्यासाठी शिक्षकाने खालील उपाय करावेत:
१) गणितातील संकल्पना सोप्या शब्दात समजावाव्यात.
२) विद्यार्थ्यांमध्ये आत्मविश्वास वाढवावा:
-
छोटी-छोटी प्रगतीसाठी विद्यार्थ्यांचे कौतुक करावे.
३) त्रुटींसाठी शिक्षणात्मक दृष्टीकोन ठेवावा:
-
चुका हा शिकण्याचा भाग आहेत हे स्पष्ट करावे.
४) व्यावहारिक उदाहरणे द्यावीत:
-
गणिताचे जीवनातील उपयोग दाखवावे.
५) स्पर्धात्मक नसून सहकार्यात्मक वातावरण निर्माण करावे.
निष्कर्ष:
शिक्षकाच्या सकारात्मक भूमिकेमुळे गणित विषयाची भीती प्रेमात परिवर्तित होते.
प्रश्न ९: गणिताच्या अध्यापनात मूल्यांकनाचे (Evaluation) महत्त्व स्पष्ट करा.
उत्तर:
मूल्यांकन ही अध्यापन प्रक्रिया पूर्ततेसाठी अत्यंत महत्त्वाची आहे.
मूल्यांकनाचे महत्त्व:
१) विद्यार्थ्यांची प्रगती तपासता येते.
२) शिकवलेल्या संकल्पनांचा आकलन समजतो.
३) कमकुवत भाग शोधून त्यावर काम करता येते.
४) शिक्षकासाठी अध्यापन सुधारण्याची दिशा मिळते.
५) विद्यार्थ्यांच्या आत्ममूल्यांकनास चालना मिळते.
मूल्यांकनाचे प्रकार:
-
सतत व सर्वसमावेशक मूल्यांकन (CCE).
-
लेखी परीक्षा.
-
मौखिक चाचण्या.
-
प्रकल्प व कृती आधारित मूल्यांकन.
निष्कर्ष:
मूल्यांकनामुळे अध्यापन अधिक प्रभावी व विद्यार्थी केंद्रित होते.
प्रश्न १०: गणितातील 'अभिप्रेरणा' (Motivation) कशी वाढवावी?
उत्तर:
विद्यार्थ्यांना गणितात अभिप्रेरित करण्यासाठी खालील उपाय करावेत:
१) गणिताच्या जीवनातील गरजा समजावाव्यात:
-
पैसे मोजणे, बांधकाम, व्यापार या सर्व ठिकाणी गणित लागते हे दाखवावे.
२) सोप्या यशाचा अनुभव द्यावा:
-
सोपे प्रश्न सोडवायला लावून यशाची जाणीव द्यावी.
३) खेळ व स्पर्धा आयोजीत कराव्यात:
-
गणितावर आधारित मनोरंजक खेळ घ्यावेत.
४) व्यक्तिमत्वाचा विकास साधावा:
-
गणिती तर्कशुद्ध विचारामुळे आत्मविश्वास वाढतो हे पटवून द्यावे.
निष्कर्ष:
योग्य अभिप्रेरणेमुळे विद्यार्थी गणितात स्वतःहून रस घेतात.
प्रश्न ११: गणित विषयासाठी वर्षभराचे अध्यापन नियोजन कसे करावे?
उत्तर:
गणितासाठी वर्षभराचे अध्यापन नियोजन करताना:
१) वार्षिक योजना तयार करावी:
-
कोणते धडे कोणत्या महिन्यात शिकवायचे ते ठरवावे.
२) मासिक योजना आखावी:
-
महिन्याचे धडे, सराव व चाचण्या निश्चित कराव्यात.
३) साप्ताहिक व दैनंदिन नियोजन करावे:
-
प्रत्येक आठवड्याचे व दिवसाचे उद्दिष्ट ठरवावे.
४) विश्रांती व पुनरावलोकन सत्रे ठेवावीत:
-
दर महिन्याच्या अखेरीस पुनरावलोकन घ्यावे.
निष्कर्ष:
नियोजनबद्ध अध्यापनामुळे वेळेवर पाठ्यक्रम पूर्ण होतो व विद्यार्थी सर्वंकष शिकतात.
प्रश्न १२: गणिताच्या अध्यापनात विविध विद्यार्थ्यांच्या गरजा कशा लक्षात घ्याव्यात?
उत्तर:
प्रत्येक विद्यार्थ्याची गती, आवड व समज वेगळी असते, म्हणून:
उपाय:
१) वेगवेगळ्या गटांनुसार सुलभ उदाहरणे व जटिल उदाहरणे तयार करावीत.
२) अति कुशाग्र विद्यार्थ्यांना अतिरिक्त कोडी व प्रकल्प द्यावेत.
३) मागे पडलेल्या विद्यार्थ्यांसाठी विशेष मार्गदर्शन करावे.
४) सर्वांचे अनुभव व पद्धती ऐकून घेऊन अध्यापन करावे.
निष्कर्ष:
विद्यार्थी केंद्रित दृष्टिकोनामुळे प्रत्येक विद्यार्थी गणितात प्रगती करतो.
प्रश्न १३: गणित विषयातील त्रुटी दूर करण्यासाठी कोणते उपाय करावेत?
उत्तर:
गणित शिकताना येणाऱ्या त्रुटी दूर करण्यासाठी:
उपाय:
१) त्रुटीचे मूळ कारण शोधावे.
२) प्रत्येक टप्प्यावर शंका निरसन करावे.
३) विद्यार्थ्यांना स्वतंत्ररीत्या सोडवायला लावावे.
४) सतत पुनरावलोकन व सराव घ्यावा.
निष्कर्ष:
समर्थ मार्गदर्शन व सकारात्मक दृष्टिकोन त्रुटी दूर करण्यात मदत करतो.
प्रश्न १४: गणिताचा उपयोग इतर विषयांमध्ये कसा होतो?
उत्तर:
गणित इतर अनेक विषयांमध्ये मूलभूत भूमिका बजावतो:
उदाहरणे:
-
विज्ञान: मापन, वेळ, गतीचे गणिती तत्त्व.
-
भूगोल: नकाशे, मापन, प्रमाण स्केल.
-
अर्थशास्त्र: आकडेवारी, टक्केवारी, दर.
-
संगणक शास्त्र: लॉजिकल ऑपरेशन्स व अल्गोरिदम.
निष्कर्ष:
गणित हे सर्व ज्ञानशाखांचे आधारभूत शास्त्र आहे.
إرسال تعليق